Puede ser algún cable?...

[Marillionado]

Zephyra, si ruedas la llave, se encienden los pilotos y al darle al botón del motor de arranque, el motor rueda (supongo que a velocidad normal, o sea hace el ruído de girar con el mismo vigor habitual) diría ser un problema del sistema de ignición.
Si el mando del puño falla, no creo que gire el motor de arranque.
Prueba algo tan sencillo como empezar por sacar los cables de las bugias (uno de cada vez, para que no te lies a la hora de volver a ponerlos por orden).
Una vez saques la pipa, mira que en su interior no se encuentren humedades. Puedes darle un poco de un WD40 o similar para limpiar contactos, para que se seque su interior.
Si funciona o por lo menos mejore, te sugiero cambiar las 4 pipas (y si te sientes con fiebre consumista) los cuatro cables de encendido.
Mi mota duerme en la calle igual que la tuya, y aún que aqui no llueve mucho, nunca senti dichos sintomas.